Cara Menentukan Gradien dan Persamaan GAris Singgung Kurva di Suatu Titik Menggunakan Turunan Fungsi

Kali ini kita akan membahas tentang penggunaan Turunan Fungsi dalam menentukan persamaan garis singgung ataupun menentukan gradiennya. Sebelum menentukan persamaan garis singgung suatu kurva di sebuah titik kita pelajari dahulu menentukan gradien garis singgung.

Misalkan kita mempunyai kurva dengan persamaan y = f(x). Jika dipunyai titik pada kurva tersebut, katakan saja titik (a, b), maka gradien garis singgung di titik tersebut adalah m = y’ = f’(a).

Contoh 1

Tentukan gradien garis singgung y = x² + 5x + 4 di  titik (1,10)

Jawaban:

y = x² + 5x + 4, maka y’ = 2x + 5

Untuk x = 1, maka f’(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7

Jadi, gradien garis singgungnya adalah 7.

Contoh 2

Tentukan gradien garis singgung y = 2x² – 6x + 9 di titik (2, 5)

Jawaban:

y = 2x² – 6x + 9, maka y’ = 4x – 6

Untuk x = 2, maka f’(2) = 4(2) – 6 = 8 – 6 = 2

Jadi, gradien garis singgungnya adalah 2.

Contoh 3

Tentukan gradien garis singgung y = x³ + 3x² – 8x + 15 di titik yang berabsis -2.

Jawaban:

y = x³ + 3x² – 8x + 15, maka y’ = 3x² + 6x – 8

Berabsis -2, berarti  x = -2,

maka f’(1) = 3(-2)² + 6(-2) – 8 = 12 – 12 – 8  = -8

Jadi, gradien garis singgungnya adalah -8.

Contoh 4

Diketahui kurva y = 2x² + px + 15 memiliki gradien 6 di titik x = -1. Tentukan nilai p.

Jawaban:

y = 2x² + px + 15, maka y’ = 4x + p

Untuk x = -1, memiliki gradien 6.

maka f’(-1) = 6

4(-1) + p = 6

-4 + p = 6

p = 10

 Jadi, nilai p adalah 10.

Contoh 5

Diketahui kurva y = 2x³ – px² + 9x memiliki gradien 3 di titik berabsis 1. Tentukan nilai p.

Jawaban:

y = 2x³ – px² + 9x, maka y’ = 6x² – 2px + 9

Untuk x = 1, memiliki gradien 3.

maka f’(1) = 3

6 × (1)² – 2(1)p + 9 = 3

            6  – 2p + 9 = 3

                       -2p = -12

                          p = 6

Jadi, nilai p adalah 6.

Nah, setelah menentukan gradien garis singgung kurva dengan menggunakan turunan fungsi, mari kita lanjutkan menentukan persamaan garis singgung kurva.

Dalam menentukan persamaan garis singgung kurva yang perlu diketahui adalah titik singgung dan gradien. Sebab pada dasarnya garis singgung berupa garis lurus. Jadi, perlu dikatahui titik dan gradien garis.

Kemudian setelah menemukan kedua unsur tersebut, kita masukkan ke dalam rumus populer berikut.

        y – y₁ = m(x – x₁)

Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² – 4x + 5 yang melalui titik (1, 2).

Jawaban:

y = x² – 4x + 5

y’ = 2x – 4

Grafik melalui  (1, 2), sehingga:

Gradien garis (m) = 2(1) – 4 = -2

Persamaan garis yang melalui (1, 2) dan bergradien -2 adalah:

y – y₁ = m(x – x₁)

y – 2 = -2 (x – 1)

y – 2 = -2x + 2

y = -2x + 4

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = -2x + 4.

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (2x + 1)² – 5 yang melalui titik dengan absis -2.

Jawaban:

y = (2x + 1)² – 5  

y' = 2(2x + 1).2

= 4(2x + 1)

Grafik melalui absis -2 (x = -1), sehingga:

y = (2(-2) + 1)² – 5

   = (-3)² – 5

   = 4

Diperoleh titik (-2, 4)

Gradien garis singgung yang melalui (-2, 4) adalah m = 4(2(-2) + 1) = -12

Persamaan garis yang melalui (-2, 4) dan bergradien -12 adalah:

       y – y₁ = m(x – x₁)

        y – 4 = -12(x + 2)

        y – 4 = -12x - 24

              y = -12x + 20

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = -12x + 20.

Contoh 3

Diketahui kurva y = 3x² + 2x – 4 memotong sumbu Y di titik A. Tentukan persamaan garis singung yang melalui titik A.

Jawaban:

Titik potong kurva y = 3x² + 2x – 4  terhadap sumbu Y (x = 0)

y = 3(0)² + 2(0) – 4

y = 4

Titik potongnya adalah (0, 4)

Gradien garis singgung di titik (0, 4)

 y' = 6x + 2

m = y' = 6(0) + 2 = 2

Persamaan garis singgung yang melalui titik (0, 4) dan bergradien 2

    y – y₁ = m(x – x₁)

     y – 4 = 2(x - 0)

     y – 4 = 2x - 0

y – 2x – 4 = 0

Jadi, persamaan garis singgung adalah y – 2x – 4 = 0.

Contoh 4

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² + x – 4 di titik yang berordinat 8.

Jawaban:

Titik potong kurva y = x² + x – 4 di titik yang berordinat 8 (y = 8)

y = x² + x – 4

8 =  x² + x – 4

    x² + x – 12 = 0

(x + 4)(x – 3) = 0

x = -4 atau x = 3

Diperoleh koordinat (-4, 8) dan (3, 8)

Gradien garis singgung adalah m = y' = 2x + 1

Gradien garis di titik  (-4, 8) adalah m = 2(-4) + 1 = -7

Persamaan garis singgung

y – y₁ = m(x – x₁)

 y – 8 = -7(x – (-4))

 y – 8 = -7x – 28

       y = –7x – 20

Gradien garis di titik  (3, 8) adalah m = 2(3) + 1 = 7

Persamaan garis singgung

 y – y₁ = m(x – x₁)

  y – 8 = 7(x – 3)

  y – 8 = 7x – 21

        y = 7x – 13

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = –7x – 20 dan y = 7x – 13.

Contoh 5

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² + 6x – 8  yang sejajar dengan garis y – 2x + 3 = 0.

Jawaban:

Kurva y = x² + 6x – 8 memiliki gradien garis singgung di setiap titik sebagai berikut.

m = y' = 2x + 6.

Garis y – 2x + 3 = 0 memiliki gradien 2.

Titik singgung yang memiliki gradien 2 sebagai berikut

y' = 2

2x + 6  = 2

       2x = -4

         x = -2

Sehingga diperoleh nilai y = (-2)² + 6(-2) – 8 = 8

Dengan demikian titik singgungnya adalah (-2, -12)

Persamaan garis singgung yang sejajar garis y – 2x + 3 = 0 (m = 2) di titik (-2, -12)

Persamaan garis

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (-12) = 2(x – (-2))

   y + 12 = 2x + 4

           y = 2x – 8

Jadi, persamaan garis singgung adalah y = 2x – 8.

Demikianlah sekilas materi singkat tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis singgung pada kurva menggunakan turunan fungsi.

Semoga bermanfaat.

Artikel Terkait
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Kurva pada Interval Tertutup Menggunakan Turunan Fungsi

Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Suatu Kurva Menggunakan Turunan Fungsi