IMATH: Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum pada IntervalTertutup Menggunakan Turunan Fungsi

Pada kesempatan ini kita akan membahas tentang penggunaan turunan dalam menentukan nilai maksimum atau minimum dalam interval tertutup. Misalnya pada permasalahan berikut.

Tentukan nilai maksimum dari fungsi-fungsi berikut.

1. y = x²+ 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2

2. y = x²- 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5

3. y = 2x²- 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8

4. y = x³+ 6x² – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3

5. y = 2x³- 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1

Kita tahu bahwa grafik fungsi bentuk kuadrat atau berderajat lebih pada umumnya memiliki titik puncak maupun titik belok. Pada interval tertentu, grafik fungsi akan memiliki nilai tertinggi (maksimum) atau nilai terendah (minimum).

Ketik diwujudkan dengan gambar, maka kita akan melihat dengan jelas nilai-nilai dimana kurva akan maksimum maupun minimum.

Coba perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut.

Grafik di atas adalah y = x² – 2x – 5.

1. Jika tidak dibatasi dengan batasan nilai x,

Nilai minimumnya adalah -6(pada titik balik minimum x = 1)

Nilai maksimumnya adalah tak terhingga

2. Pada interval -1 ≤ x ≤ 2,

Nilai minimumnya adalah -6 pada titik x= 1

Nilai maksimumnya adalah -2 pada titik x = -1

3. Pada interval 0 ≤ x ≤ 2

Nilai minimumnya adalah -6 pada titik x = 1

Nilai maksimumnya adalah -5 pada titik x = 2.

4. Pada interval 2 ≤ x ≤ 4

Nilai minimumnya adalah -5 pada titik x = 2

Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = 4

Perhatikan lagi gambar kurva berikut.

Grafik di atas adalah y = x³ – 3x + 1.

1. Jika tidak dibatasi dengan batasan nilai x,

Nilai minimumnya adalah min tak terhingga

Nilai maksimumnya adalah tak terhingga

2. Pada interval -2 ≤ x ≤ 0,

Nilai minimumnya adalah -1 pada titik x = -2

Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = -1

3. Pada interval -1 ≤ x ≤ 1

Nilai minimumnya adalah -1 pada titik x = 1

Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = -1.

4. Pada interval 0 ≤ x ≤ 2

Nilai minimumnya adalah -1 pada titik x = 1

Nilai maksimumnya adalah 3 pada titik x = 2.

Kadang kala pada suatu titik bisa menjadi maksimum pada interval tertentu. Namun, bisa saja akan menjadi nilai minimum ketika interval kita ubah. Makanya dalam konteks ini dinamakan nilai maksimum dan nilai minimum relatif.

Ketika kita mengamati kurva, maka akan mudah kita menentukan nilai maksimum dan minimum. Nah, bagaimana jika kita membaca atau menentukan nilai maksimum/minimum relatif pada interval tertentu (Tertutup) tanpa adanya sajian gambar?

Untuk mengatasi permasalahan tentang maksimum dan minimum, maka ada konsep/materi turunan fungsi sebagai solusinya.

Bagaimana cara menggunakan turunan fungsi dalam menyelesaikan permasalahan ini? Mari kita bahas di sini.

Materi ini adalah lanjutan dari materi turunan tentang grafik naik dan grafik turun. Oleh karena pentingnya materi ini, mari kita bahas satu persatu permasalahan tentang nilai maksimum/minimum suatu kura pada interval tertutup.

Coba simak lagi permasalahan di atas. KIta selesaikan satu persatu.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari persamaan kurva berikut yang dibatasi pada interval tertentu.

1. y = x²+ 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2

Jawaban

y = x²+ 4x – 7, maka y’ = 2x + 4

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -2

Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 2.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -3, -2, dan 2.

Kita hitung satu persatu.

f(x) = y = x²+ 4x – 7

f(-3) = (-3)²+ 4(-3) – 7 = 9 – 12 – 7 = -10

f(-2) = (-2)²+ 4(-2) – 7 = 4 – 8 – 7 = -11 (minimum)

f(2) = 2²+ 4(2) – 7 = 4 + 8 – 7 = 5 (maksimum)

Jadi, kurva/grafik y = x²+ 4x – 7 pada interval -3 ≤ x ≤ 2 memiliki nilai maksimum 5 dan nilai minimum -11.

2. y = x²- 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5

Jawaban

y = x²- 6x + 8, maka y’ = 2x - 6

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

2x - 6 = 0

2x = 6

x = 3

Perhatikan bahwa x = 3 terletak pada interval -1 ≤ x ≤ 5.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -1, 3, dan 5.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = x²- 6x + 8

f(-1) = (-1)²- 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15

f(3) = (3)²- 6(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1

f(5) = 5²- 6(5) + 8 = 25 – 30 + 8 = 3

Jadi, kurva/grafik y = x²- 6x + 8 pada interval -1 ≤ x ≤ 5 memiliki nilai maksimum 15 dan nilai minimum -1.

3. y = 2x²- 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 8

Jawaban

y = 2x²- 8x + 1, maka y’ = 4x - 8

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

4x - 8 = 0

4x = 8

x = 2

Perhatikan bahwa x = 2 terletak pada interval 1 ≤ x ≤ 8.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = 1, 2, dan 8.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = 2x²- 8x + 1

f(1) = 2(1)²- 8(1) + 1 = 2 – 8 + 1 = -5

f(2) = 2(2)²- 8(2) + 1 = 8 – 16 + 1 = -7

f(8) = 2(8)²- 8(8) + 1 = 128 – 64 + 1 = 65

Jadi, kurva/grafik y = 2x²- 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 memiliki nilai maksimum 65 dan nilai minimum -7.

4. y = x³+ 6x² – 15x + 6 pada interval -2 ≤ x ≤ 3

Jawaban

y = x³+ 6x² – 15x + 6, maka y’ = 3x²+ 12x – 15

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

3x²+ 12x – 15 = 0

x²+ 4x – 5 = 0

(x + 5)(x – 1) = 0

x = -5 atau x = 1

Perhatikan bahwa x = 1 terletak pada interval -2 ≤ x ≤ 3. Sedangkan x = -5 tidak masuk dalam interval.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 (yang masuk dalam interval) dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -2, 1, dan 3.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = x³+ 6x² – 15x + 6

f(-2) = (-2)³+ 6(-2)² – 15(-2) + 6 = -8 + 24 + 30 + 6 = 52

f(1) = (1)³+ 6(1)² – 15(1) + 6 = 1 + 6 – 15 + 6 = -2

f(3) = (3)³+ 6(3)² – 15(3) + 6 = 27 + 54 - 45 + 6 = 42

Jadi, kurva/grafik y = 2x²- 8x + 1 pada interval 1 ≤ x ≤ 6 memiliki nilai maksimum 52 dan nilai minimum -2.

5. y = 2x³- 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1

Jawaban

y = 2x³- 24x + 15, maka y’ = 6x²- 24

Ingat, suatu grafik akan maksimum/minimum ketika y’ = 0.

Maka:

6x²– 24 = 0

x² – 4 = 0

(x + 2)(x – 2) = 0

x = -2 atau x = 2

Perhatikan bahwa x = -2 terletak pada interval -3 ≤ x ≤ 1. Sedangkan x = 2 tidak masuk dalam interval.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimumnya, kita cukup mensubstitusikan (memasukkan) nilai x pada saat y’ = 0 (yang masuk dalam interval) dan nilai x pada batas-batas intervalnya.

Jadi, nilai x yang dimasukkan yaitu nilai x = -3, -2, dan 1.

Kita hitung satu persatu.

y = f(x) = 2x³- 24x + 15

f(-3) = 2(-3)³- 24(-3) + 15 = -54 + 72 + 15 = 33

f(-2) = 2(-2)³- 24(-2) + 15 = -16 + 48 + 15 = 47

f(1) = 2(1)³- 24(1) + 15 = 2 – 24 + 15 = -7

Jadi, kurva/grafik y = 2x³- 24x + 15 pada interval -3 ≤ x ≤ 1 memiliki nilai maksimum 47 dan nilai minimum -7.

Demikianlah sekilas materi tentang cara menentukan nilai maksimum dan minimum suatu kurva pada interval tertutup menggunakan turunan fungsi.

Semoga yang sedikit ini bisa memberikan manfaat.

Salam Sukses.