Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Sinus, Kosinus dan Tangen)

Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri merupakan bentuk-bentuk trigonometri yang mengandung variabel di dalamnya dan memuat tanda sama dengan. Tujuan dari persamaan trigonometri adalah menentukan penyelesaian (mencari nilai variabel) sehingga dengan nilai tersebut maka persamaan trigonometri menjadi benar.

Perhatikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri berikut.

Misalkan variabelnya adalah x.

1. sin 2x = sin 60^o

2. cos (3x + 45^o)= cos 60^o

3. sin (2x + 30^o) = 0,5

4. tan (0,5x + 20^o) = tan 120^o

5. cos (4x + 60^o)= 1/2 V3

6. tan (3x - 30) - 1/2 = 0

7. sin² x + 2 sin x – 3 = 0

8. (1 – cos 2x) +  sin x – 1 = 0

1. Bentuk sin x = sin a dan sin x = p

Jika dipunyai persamaan sin x = sin a, maka penyelesaiannya adalah:

(i)    x = a + k.360^o 

(ii)   x = (180^o – a) + k.360^o

 dengan k bilangan bulat

Perhatikan contoh berikut.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin 2x = sin 60^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

sin 2x = sin 60^o

(i) 2x =  60^o + k.360^o

     x = 30^o + k.180^o

     Untuk k = 0, maka x = 30^o

               k = 1, maka x = 210^o

(ii) 2x =  (180^o - 60^o) + k.360^o

      x =  120^o + k.360^o

     x = 60^o + k.180^o

     Untuk k = 0, maka x = 60^o

               k = 1, maka x = 240^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 30^o, 60^o, 210^o, 240^o}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin (2x + 40^o) = sin 50^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

sin (2x + 40^o) = sin 50^o

(i) 2x + 40^o =  50^o + k.360^o

     2x =  (50^o – 40^o) + k.360^o

     2x =  10^o + k.360^o

     x = 5^o + k.180^o

     Untuk k = 0, maka x = 5^o

               k = 1, maka x = 185^o

(ii) 2x + 40^o =  (180^o - 50^o) + k.360^o

     2x =  (30^o – 40^o) + k.360^o

     2x =  -10^o + k.360^o

     x = -5^o + k.180^o

     Untuk k = 0, maka x = -5^o

               k = 1, maka x = 175^o

               k = 2, maka x = 355^o        

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 5^o, 175^o, 185^o, 355^o}.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin (3x + 45^o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

sin (3x + 45^o) = 1

sin (3x + 45^o) = sin 90

(i) 3x + 45^o =  90^o + k.360^o

     3x =  (90^o – 45^o) + k.360^o

     3x =  45^o + k.360^o

     x = 15^o + k.120^o

     Untuk k = 0, maka x = 15^o

               k = 1, maka x = 135^o

               k = 2, maka x = 255^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {15^o, 135^o, 255^o}.

2. Bentuk cos x = cos a dan cos x = p

Jika dipunyai persamaan cos x = cos a, maka penyelesaiannya adalah:

(i)    x = a + k.360^o 

(ii)   x = –a + k.360^o

 dengan k bilangan bulat

Perhatikan contoh berikut.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 3x = cos 60^o , untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

cos 3x = cos 60^o

(i) 3x =  60^o + k.360^o

     x = 20^o + k.120^o

     Untuk k = 0, maka x = 20^o

               k = 1, maka x = 140^o

               k = 2, maka x = 260^o

(ii) 3x =  -60^o + k.360^o

      x =  -20^o + k.120^o

     Untuk k = 0, maka x = -20^o

               k = 1, maka x = 100^o

               k = 2, maka x = 220^o

               k = 3, maka x = 340^o

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 20^o, 100^o, 140^o, 220^o, 260^o, 340^o }

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (2x - 30^o) = cos 80^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

cos (2x - 30^o) = cos 80^o

(i) 2x - 30^o =  80^o + k.360^o

     2x =  (80^o + 30^o) + k.360^o

     2x =  110^o + k.360^o

     x = 55^o + k.180^o

     Untuk k = 0, maka x = 55^o

               k = 1, maka x = 235^o

(ii) 2x - 30^o =  -80^o + k.360^o

     2x =  (-80^o + 30^o) + k.360^o

     2x =  -50^o + k.360^o

     x = -25^o + k.180^o

     Untuk k = 0, maka x = -25^o

               k = 1, maka x = 155^o

               k = 2, maka x = 335^o        

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 55^o, 155^o, 235^o, 335^o}.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (3x - 45^o) = 1/2, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

cos (3x - 45^o) = 1/2

cos (3x - 45^o) = cos 60^o

(i) 3x - 45^o =  60^o + k.360^o

     3x =  (60^o + 45^o) + k.360^o

     3x =  105^o + k.360^o

     x = 35^o + k.120^o

     Untuk k = 0, maka x = 35^o

               k = 1, maka x = 155^o

               k = 2, maka x = 275^o

(ii) 3x - 45^o =  -60^o + k.360^o

     3x =  (-60^o + 45^o) + k.360^o

     3x =  -15^o + k.360^o

     x = -5^o + k.120^o

     Untuk k = 0, maka x = -5^o

               k = 1, maka x = 115^o

               k = 2, maka x = 235^o

               k = 3, maka x = 355^o        

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 35^o, 115^o, 135^o, 235^o, 275^o, 355^o}.

3. Bentuk tan x = tan a dan tan x = p

Jika dipunyai persamaan tan x = tan a, maka penyelesaiannya adalah:

(i)    x = a + k.180^o 

dengan k bilangan bulat

Perhatikan contoh berikut.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 3x = tan 48^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

tan 3x = tan 48^o

(i) 3x =  48^o + k.180^o

     x = 16^o + k.60^o

     Untuk k = 0, maka x = 16^o

               k = 1, maka x = 76^o

               k = 2, maka x = 136^o

               k = 3, maka x = 196^o        

               k = 4, maka x = 256^o        

               k = 5, maka x = 316^o        

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 16^o, 76^o, 136^o, 196^o, 256^o, 316^o }.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan (2x – 40^o)= tan 60^o, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

tan (2x – 40^o)= tan 60^o

(i) 2x – 40^o =  60^o + k.180^o

     2x =  (60^o + 40^o)+ k.180^o

     2x =  100^o + k.180^o

     x =  50^o + k.90^o

     Untuk k = 0, maka x = 50^o

               k = 1, maka x = 140^o

               k = 2, maka x = 230^o

               k = 3, maka x = 320^o        

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {50^o, 140^o, 230^o, 320^o}.

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan (3x + 15^o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360^o

 Jawaban:

tan (3x + 15^o) = 1

tan (3x + 15^o) = tan 45^o

(i) 3x + 15^o =  45^o + k.180^o

     3x =  (45^o - 15^o)+ k.180^o

     3x =  30^o + k.180^o

     x =  10^o + k.60^o

     Untuk k = 0, maka x = 10^o

               k = 1, maka x = 70^o

               k = 2, maka x = 130^o

               k = 3, maka x = 190^o        

               k = 4, maka x = 250^o        

               k = 5, maka x = 310^o        

    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {10^o, 70^o, 130^o, 190^o, 250^o, 310^o}.

Langkah-langkah penyelesaian di atas merupakan dasar-dasar dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.  Perlu diketahui bahwa persamaan trigonometri bukan hanya berbentuk seperti di atas, melainkan masih banyak bentuk yang lainnya. Baik itu yang berbentuk kuadrat, atau bentuk pecahan.

Untuk itu, tanamkan pemahaman langkah-langkah  menyelesaikan persamaan trigonometri di atas. Jika kamu menguasai cara  tersebut, maka penyelesaian persamaan trigonometri bentuk lain akan mudah diselesaikan.

Materi Terkait
Menyelesaikan Trigonometri Sudut Ganda dan Trigonoometri Setengah Sudut