Menyelesaikan dan Menentukan Nilai Integral Tentu

Beberapa materi mapel Matematika SMA yang agak sulit adalah materi Integral. Integral merupakan kebalikan dari turunan fungsi (diferensial). Yang akan kita pelajari di sini adalah integral tentu dan integral taktentu dari fungsi aljabar.

Jika kita mempunyi fungsi y = f(x) maka turunannya adalah y' = dy/dx, atau y' = f'(x). Sehingga integral dari y' adalah y, atau integral dari dy/dx adalah y.

Setelah mempelajari integral tak tentu di postingan yang lalu, selanjutnya akan kami berikan cara menentukan hasil integral tentu. Integral tentu yaitu suatu integral fungsi yang memiliki batas atas dan batas bawah untuk disubstitusikan pada hasil pengintegralan.

Jika integral dari f(x) adalah F(x), maka :

Lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh cara menyelessaikan integral tentu berikut.

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Contoh 5






























  


Contoh 6
Tentukan nilai a

Oleh karena nilai a>1, maka penyelesaiannya adalah a = 2.


Contoh 7
Tentukan nilai p.

Jadi, nilai p = 2.


Contoh 8
Tentukan integral trigonometri berikut.

Contoh 9
Tentukan integral trigonometri berikut.

Demikian sedikit gambaran tentang cara menghitung integral tentu.
Semoga Bermanfaat.
  

Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi (Bagian 3)

Kombinasi
Mari kita lanjutkan mempelajari tentang kombinasi dan problem solvingnya.
Secara umum kombinasi diartikan sebagai susunan obyek beberapa unsur dari semua unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutan. Jadi, urutan unsur-unsur dalam objek tersebut.

Agar lebih mudah Anda memahami, perhatikan contoh berikut.
1) Misalkan kamu mempunyai cat air warna Kuning, Biru, Merah.Jika Anda mencampur dua cat warna tersebut, ada berapa warna baru yang dapat Anda peroleh?
Permasalahan ini mempunyai 3 cat warna yang berbeda. Maka Anda bisa mencampur dengan susunan berikut.
(Kuning , Biru)   , ingat Pencampuran kuning dan biru sama saja dengan biru dan merah.
(Kuning, Merah)  , ingat Pencampuran kuning dan merah sama saja dengan merah dan kuning.
(Biru, Merah) , ingat Pencampuran biru dan merah sama saja dengan merah dan biru.
Susunan warna inilah yang dikatakan contoh bentuk kombinasi.

2. Sekolah mempunyai 5 siswa (Misalkan A, B, C, D, dan E) yang mengikuti kelas olimpiade matematika. Karena akan ada even olimpiade tingkat nasional, maka pihak sekolah akan memilih 3 siswa untuk diikutkan pada olimpiade Matematika tersebut.
Berapa banyak cara sekolah tersebut memilih tim olipiade tersebut?
Permasalahan ini memilih 3 siswa dari 5 siswa yang akan dipilih. Perlu diingat bahwa jika sekolah memilih A, B, dan C, itu sama artinya dengan memilih B, C, dan A, atau memilih C, A, dan B. 
Jadi, urutan siswa-siswa yang dipilih tidak  mempengaruhi keanggotaan tim.
Jadi, pihak sekolah dapat memilih keanggotaan tim olimpiade sebagai berikut.
A, B, C          B, C, D            
A, B, D          B, C, E
A, B, E          B, D, E
A, C, D          C, D, E
A, C, E 
A, D, E
Ada 10 kemungkinan (cara) memilih tim olimpiade.

Secara umum, jika kita mempunyai n unsur yang tersedia, maka banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia adalah:

Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Seorang siswa diminta mengerjakan soal Matematika sebanyak 10 soal dari 15 soal yang ada. Jika soal yang bernomor ganjil wajib dikerjakan, berapa banyaknya pilihan untuk mengerjakan soal yang diminta?
Jawaban:
Banyak soal yang bernomor ganjil (wajib dikerjakan) ada 8 soal (no.1,3,5,7,9,11,13,15)
Sehingga ada 7 soal sisa, dan siswa masih bisa memilih 2 soal.
Sehingga banyak cara memilih ada 7 kombinasi 2.

 












Jadi, banyak cara siswa memilih soal ada 21 cara.

Contoh 2

Sebuah pelatnas mempunyai 16 pemain voli. Untuk mengikuti turnamen antar propinsi, seorang manajer ingin memilih 12 pemain. Berapa banyak cara memilih anggota pemain yang akan mengikuti turnamen?  
Jawaban:
Banyak cara memilih ada 16 kombinasi 12.

 

Jadi, banyak cara siswa memilih anggota pemain ada 1.820 cara.

Contoh 3

Berapa banyak cara menyusun tim beranggotakan 2 putri dan 3 putra dari 5 putri dan 7 putra yang ada ?

Jawaban:
Banyak cara menyusun tim dengan menjumlah dua kombinasi masing-masing tim putri dan putra.
Sehingga banyaknya cara menyusun adalah:

 

















Jadi, banyak cara menyusun tim ada 45 cara.

Contoh 4
Di dalam kantong terdepat 10 kelereng warna yang berbeda. Andi mengambil 4 kelereng sekaligus. Ada  berapa banyak kemungkinan jenis warna 4 kelereng yang diambil Andi?
Jawaban:
Permasalahan kombinasi 4 dari 10.

Jadi, banyak kemungkinan ada 210.


Contoh 5
Sebuah perusahaan mencari karyawan sebanyak 2 karyawan wanita dan 4 karyawan pria.  Jika kandidat calon karyawan ada 5 wanita dan 7 pria, berapa banyak pilihan karyawan yang dapat dilakukan oleh perusahaan?
Jawaban:
Permasalahan penjumlahan kombinasi 
Memilih 2 dari 5 wanita dan memilih 4 dari 7 pria.

Jadi, banyak pilihan karyawan yang dapat dilakukan oleh perusahaan ada 45.

Demikian sedikit contoh penjelasan tentang kombinasi. 
Semoga bermanfaat.

Materi Terkait : PERMUTASI

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda persamaan. Sedangkan persamaan kuadrat satu variabel adalah persamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas persamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah persamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c = 0, dengan a tidak sama dengan 0.

Contoh bentuk persamaan kuadrat

1. x² + 3x + 2 = 0
2. x² – 2x + 1 = 0
3. 4y² – 9 = 0
4. 3p² – 9p = 0
5. x² + 6x = 16
6. 2m² – 7m = 4
7. 3x² – 4x – 20 = 0

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan solusi atau pengganti variabel yang berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh seperti berikut.

Menentukan penyelesaian dari x² + 3x + 2 = 0.

x = 1 bukan penyelesaian, sebab 1² + 3(1) + 2 = 0 bernilai salah

x = 2 bukan penyelesaian, sebab 2² + 3(2) + 2 = 0 bernilai salah

x = -1 merupakan penyelesaian, sebab (-1)² + 3(-1) + 2 = 0 bernilai benar

x = -2 merupakan penyelesaian, sebab (-2)² + 3(-2) + 2 = 0 bernilai benar

Jadi, penyelesaian dari persamaan x² + 3x + 2 = 0 adalah x = -1 atau x = -2.

Cara menentukan penyelesaian dengan cara coba-coba memasukkan bilanganseperti di atas kurang efektif. Maka diperlukan cara lain yang lebih efektif dan efisien.

Sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat, kita tahu bahwa perkalian (px + q)(rx + s),dengan p, q, r, s suatu bilangan dan x adalah variabel akan menghasilkan bentuk aljabar kuadrat.

Dapat ditulis seperti berikut.

(x + p)(x + q) = x² + bx + c

(px + q)(rx + s) = ax² + bx + c

Dengan demikian bentuk ax² + bx + c dapat difaktorkan menjadi (px + q)(rx + s). Bentuk pemfaktoran ini akan digunakan dalam penyelesaian masalah persamaan kuadrat.

Bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 dapat diubah menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Dari sinilah diperoleh penyelesaian px + q = 0 atau rx + s = 0. Jadi, penyelesaian dari persamaan kuadrat  tersebut adalah x = -q/p atau x = -s/r.

Cara penyelesaian tersebut dinamakan cara menfaktorkan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari x² + 5x + 4 = 0

Jawaban

x² + 5x + 4 = 0

(x – 4)(x – 1) = 0

x – 4 = 0 atau x – 1 = 0

x = 4                   x = 1

Jadi, penyelesaian dari persamaan x² + 5x + 4 = 0 adalah x = 4 atau x = 1.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari x² – 3x – 10 = 0

Jawaban

x² – 3x – 10 = 0

(x + 2)(x – 5) = 0

x + 2 = 0 atau x – 5 = 0

x = -2                      x = 5

Jadi, penyelesaian dari persamaan x² – 3x – 10 = 0 adalah x = -2 atau x = 5.

Contoh 3

Tentukan nilai y yang memenuhi 4y² – 49 = 0

Jawaban

4y² – 49 = 0

(2y)² –7² = 0

(2y – 7)(2y + 7) = 0

2y – 7 = 0 atau 2y + 7= 0

y = 7/2                      y = -7/2

Jadi, penyelesaian dari persamaan 4y² – 49 = 0 adalah x = 7/2 atau x = -7/2

Contoh 4

Tentukan nilai m yang memenuhi 2m² – 7m – 4 = 0

Jawaban

2m² – 7m – 4 = 0

2m² – 8m + m – 4 = 0

2m(m – 4) + m – 4 = 0

(m – 4)(2m + 1) = 0

m – 4 = 0 atau 2m + 1= 0

m = 4                      m = -1/2

Jadi, penyelesaian dari persamaan 2m² – 7m – 4 = 0 adalah x = 4 atau x = -1/2

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah bentuk aljabar yang mempunyai pangkat tertinggi adalah 2 dan memuat tanda pertidaksamaan. Sedangkan pertidaksamaan kuadrat satu variabel adalah pertidaksamaan kuadrat yang hanya mempunyai satu variabel. Pada kesempatan ini akan membahas pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Selanjutnya kita akan menyebutnya pertidaksamaan kuadrat.

Pertidaksamaan kuadrat yang akan kita bahas ini adalah pertidaksamaan kuadrat berbentuk ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c >= 0, dan ax² + bx + c <= 0 dengan a tidak sama dengan 0.

Contoh bentuk pertifdaksamaan kuadrat

1. x² + 6x + 5 < 0

1. x² – 4x – 12 > 0

1. 9y² – 25 >= 0

1. 12p² – 9p <= 0

1. x² + 6x > 16

1. 2m² – 7m < 4

1. 3x² – 4x – 20 > 0

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat hampir sama caranya dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Hanya saja, pada penyelesaian ini ada satu langkah lagi untuk menentukan daerah penyelesaian.

Perhatikan langka-langkah penylesaian dari beberapa contoh pertidaksamaan kuadrat berikut.

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari x² – 2x – 8 > 0

Jawaban

x² – 2x – 8 > 0

(x + 2)(x – 4) > 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x + 2 = 0 atau x – 4 = 0

x = -2                      x = 4

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < -2 bernilai positif

Daerah -2 < x< 4 bernilai negatif

Daerah x > 4 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah lebih dari 0 (....> 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai positif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 2x – 8 > 0 adalah x < -2 atau x > 4.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari x² – 7x + 10 < 0

Jawaban

x² – 7x + 10 < 0

(x – 5)(x – 2) < 0

Menentukan pembuat nol fungsi

x – 5 = 0 atau x – 2 = 0

     x = 5                x = 2

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < 2 bernilai positif

Daerah 2 < x < 5 bernilai negatif

Daerah x > 5 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... < 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 7x + 10 < 0 adalah 2 < x < 5.

Contoh 3

Tentukan penyelesaian dari 3x² – 4x – 20 <= 0

Jawaban

3x² – 4x – 20 <= 0

3x² + 6x – 10x – 20 <= 0

3x(x + 2) – 10(x + 2) <= 0

(3x – 10) (x + 2) <= 0

Menentukan pembuat nol fungsi

3x – 10 = 0 atau x + 2 = 0

          x = 10/3               x = –2

Membuat garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah x < –2bernilai positif

Daerah –2 < x < 10/3 bernilai negatif

Daerah x > 10/3 bernilai positif

Oleh karena penyelesaian yang dimaksud dari soal adalah kurang dari 0 (.... <= 0), maka penyelesaiannya dipilih daerah yang bernilai negatif.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 3x² – 4x – 20 <= 0 adalah -2 < x < 10/3.