Melakukan Operasi Bentuk Aljabar dan Faktorisasi Bentuk Aljabar

A. Operasi Bentuk Aljabar

Operasi bentuk aljabar merupakan pengarjaan hitung yang melibatkan variabel-variabel dan bilangan. Dalam operasi bentuk aljabar lebih banyak pengerjaan menggunakan variabel-variabel.

1. Penjumlahan suku-suku sejenis

a. 5x + 3y – 2x + y   = 5x – 2x + 3y + y

                               = 3x + 4y

b. 3xy – yz + 2xy      = 3xy + 2xy – yz

                               = 5xy – yz

c. 2pq + 8pr - 3pq - 2pr = 2pq - 3pq + 8pr - 2pr

                                    = -pq + 6pr

                                    = 6pr - pq 

2. Perkalian suatu bilangan dengan suku dua

a.  3(2x – 5y) = 6x – 15y

b.  k(a + 2b) = ka + 2kb

c.  6(ab + 3bc - 2ac) = 6ab + 18bc - 12ac

3. Perkalian suku dua dengan suku dua

   a.  (2x + 3)(5x – 1) = 2x(5x – 1) + 3(5x – 1)

                                 = 10x² – 2x + 15x – 3

                                 = 10x² + 13x – 3

   b. (p + 5)(2p - 3) = p(2p - 3) + 5(2p - 3)

                              = 2p² – 3p + 10p –15

                              =  2p² + 7p –15

B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Pemfaktoran bentuk aljabar merupakan pengubahan bentuk-bentuk aljabar menjadi perkalian-perkalian bentuk aljabar baru. Intinya, mengubah bentuk penjumlahan/pengurangan aljabar yang menjadi bentuk-bentuk perkalian bentuk aljabar. Hal ini sering disebut faktorisasi bentuk aljabar.

1.     Suku-Suku dengan Faktor yang Sama

ax + ay = a(x + y)

Contoh:

5x + 15y = 5x + 5 · 3y = 5(x + 3y)

2.     Selisih Bentuk Kuadrat

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Contoh:

25x2 – 16y2 = (5x)2 – (4y)2 = (5x + 4y)(5x – 4y)

3.     Pemfaktoran Bentuk x2 + bx + c

x2 + bx + c = (x + p)(x + q)

dengan syarat:   p × q = c

                         p + q = b

Contoh:

a.      x2 + 4x + 3

         c = 3 = 1 × 3

         b = 4 = 1 + 3
         (1 dan 3 adalah dua bilangan yang dikali hasil 3 dan ditambah hasil 4)

         x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)

b.      x2 + 3x – 10

         c = –10 = –2 × 5

         b = 3 = –2 + 5
        (-2 dan 5 adalah dua bilangan yang dikali hasil -10 dan ditambah hasil 3)

         x2 + 3x – 10 = (x – 2)(x + 5)

 c.      x2 – 7x + 12

         c = 12 = –3 × (–4)

         b = –7 = –3 + (–4)
         (–3 dan –4 adalah dua bilangan yang dikali hasil 12 dan ditambah hasil –7)

         x2 + 4x + 3 = (x – 3)(x – 4)

4.     Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c, dengan a tdk sama dengan 1.

Misalnya bentuk :
2x2 + x - 6
4x2 - 19x +12
3x2 + 7x - 6
  Cara pemfaktoran dengan menjabarkan bx menjadi px dan qx, dengan syaran pq = ac.

Contoh:

a.      2x2 + x - 6 (jabarkan x menjadi px dan qx dengan pq = 2 x (-6) = -12

        =  2x2 + 4x - 3x - 6
        =  2x(x + 2) - 3(x + 2)    Sifat distributif
        = (x + 2)(2x - 3)             Kelompokkan

         Jadi, 2x2 + x - 6 = (x + 2)(2x - 3)


b.    4x2 - 19x +12 (jabarkan -19x menjadi px dan qx dengan pq = 4 x (12) = 48

        =  4x2 - 16x - 3x + 12
        =  4x(x - 4) - 3(x - 4)    Sifat distributif
        = (x - 4)(4x - 3)             Kelompokkan

         Jadi, 4x2 - 19x +12 = (x - 4)(4x - 3)

 c.  3x2 + 7x - 6 (jabarkan 7x menjadi px dan qx dengan pq = 3 x (-6) = -18

        =  3x2 + 9x - 2x - 6
        =  3x(x + 3) - 2(x + 3)    Sifat distributif
        = (x + 3)(3x - 2)             Kelompokkan

         Jadi, 3x2 + 7x - 6 = (x + 3)(3x - 2)


Bagaimana, sudah bisa bukan?

Mengapa les Privat Lebih Efektif?

Bagaimana hubungan Sekolah dan Bimbingan belajar?
Sekarang ini banyak lembaga bimbingan belajar yang tersebar di seluruh nusantara ini. Tujuan utama dari seluruh bimbingan belajar yaitu ikut membantu mencerdaskan bangsa(pelajar/siswa). Banyak hal-hal yang ditawarkan oleh bimbimngan belajar sedemikian hingga menarik siswa untuk ikut bimbingan belajar.
Memang sekarang ini pelajaran-pelajaran di sekolah semakin meningkat tingkat kesulitannya. Bukan pendidikan kalau ilmu pengetahuan cuma hanya itu-itu saja. Jadi, tidak salah jika sekolah-sekolah memberikan materi-materi yang baru asalkan masih terangkum dalam kurikulum yang berlaku saat ini.
Itupun materi yang ditambahkan tidak terlalu banyak. Jadi, tidak ada sekolah yang salah dalam memberikan pelajaran kepada siswa. Perlu diketahui pula,apabila siswa secara kidmat mengikuti pelajaran di sekolah, saya yakin bahwa siswa tersebut dapat  mengikuti alur pelajaran/pendidikan hingga tuntas.

Perlukah menambah jam belajar di bimbel?
Perlu diketahui bahwa jam belajar di sekolah terbatas. Materi yang harus diselesaikan siswa selama satu tahun sudah di siapakan sesuai kompetensinya. Jadi memang tugas guru untuk mengatur jadwal dan materi/kompetensi selama satu tahu. Kuncinya di sini adalah guru harus melaksanakan tugasnya sebaik-baiknya. 
Mengenai tambahan jam belajar di bimbel itu tergantung siswa. Bilamana materi di sekolah belum jelas, siswa bisa belajar di luar sekolah. Misalnya di bimbel-bimbel terdekat atau les privat. Perlu diketahui bahwa saat ini banyak bimbel-bimbel yang ada di sekitar kita. baik dari yang tingkat rumahan sampai dengan lembaga. Jadi, memang perlu bimbingan belajar di luar apabila siswa belum menguasai materi di sekolah.

Mana yang lebih baik, Privat atau Klasikal?
Permasalahan tentang baik atau tidaknya bimbingan belajar model privat atau klasikal tergantung dari siswanya. Kedua bentuk tersebut memiliki kelebihan dan kekurangannya. Model klasikal adalah model bimbingan di dalam kelas yang diikuti bisa lebih dari 20 orang, kadang mencapai 40 orang per kelas. Adapun kalo les privat satu atau dua siswa langsung  berhadapan dengan guru.
Kelebihan bimbingan kelas/klasikal.
1. Biaya lebih murah
2. Banyak berinteraksi dengan teman sekelas
3. Materi yang disampaikan sesuai target kelas
Kekurangan
1. Ketenangan/kenyamanan kurang maksimal, kadang ada beberapa anak yang masih ramai.
2. Kesempatan siswa untuk bertanya kepada tentor sangat sedikit karena banyaknya siswa di dalam kelas.
3. Kadang-kadang penyampaian materi oleh tentor kurang jelas karena suasana kelas yang kurang mendukung.
4. Waktu bimbingan kadang kurang efektif/maksimal.
5. Siswa harus datang ke tempat bimbel sesuai waktu yang sudah ditentukan oleh bimbel. (membutuhkan waktu perjalanan, cuaca kadang-kadang hujan, dll)

Kelebihan Les Privat
1. Bimbingan dilaksanakan secara efektif dengan tentor.
2. Siswa langsung bertanya jawab dengan tentor tentang hal-hal yang kurang jelas.
3. Tentor langsung memberikan jawaban atas pertanyaan siswa.
4. Suasana pembelajaran lebih enjoi, bersahabat, tenang dan fokus ke materi.
5. Bisa belajar di rumah dengan mengundang tentor dan waktu yang sesuai keinginan siswa. 

Kekurangan:
Mugkin biaya yang lebih mahal dari bimbingan klasikal. Namun demikian, Privat ini lebih mengenai sasaran dan hampir tidak mempunyai resiko yang besar. Dengan kata lain. justru privat ini lebih menguntungkan dari segi waktu, biaya, dan tenaga.


Masih ada lagi selain privat dan klasikal, yaitu kelompok belajar.
Jika siswa mempunyai kellompok belajar yang terdiri atas 4 atau 5orang, bisa saja mengundang tentor untuk membimbing belajar. Bentuk belajar ini juga lebih efektif dan cenderung lebih baik dibandingkan dengan klasikal.
Model kelompok ini memang ideal untuk belajar. Hanya saja pelaksanaannya harus kesepakatan anggota kelompok tersebut. Begitu juga tentornya.

Nah, dari keterangan di atas, pilihan metode bimbingan belajar yang baik menurut Anda adalah pilihan Anda.



Imath Solution

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (dalam x dan y):

ax + by = cdx + ey = f
dengan a, b, c, d, e, dan f merupakan bilangan nyata.

Misalnya:

2x + y = 10

3x + 2y = 17 

2.  Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Menyelesaikan Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat dilakukan dengan beberapa metode berikut.

a.      Metode grafik, yaitu dengan mencari titik potong kedua garis  yang memiliki          persamaanpada sistem tersebut pada koordinat Kartesius.

b.      Metode substitusi, yaitu dengan mengganti salah satu variabel pada persamaan dengan variabel yang lain.

c.      Metode eliminasi, yaitu dengan menghilang­kan salah satu variabelnya.

d.     Metode gabungan eliminasi dan substitusi.

3. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel merupakan himpunan pasangan ber­urutan dua variabel yang memenuhi sistem per­samaan tersebut.

Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan cara menyelesaikan SPLDV dari bentuk soal cerita.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Nunik membeli 1 kg daging sapi dan 2 kg ayam potong dengan harga Rp94.000,00. Nanik membeli 3 kg ayam potong dan 2 kg daging sapi dengan harga Rp167.000,00. Jika harga 1 kg daging dinyatakan dengan x dan harga 1 kg ayam dinyatakan dengan y, sistem persamaan linear dua variabel yang berkaitan dengan pernyataan di atas adalah . . . .

A.     x + 2y = 94.000 dan 3x + 2y = 167.000

B.     x + 2y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000

C.     2x + y = 94.000 dan 3x + 2y = 167.000

D.     2x + y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000

Jawaban: B

Harga 1 kg daging sapi    = x rupiah

Harga 1 kg ayam potong = y rupiah

Harga 1 kg daging sapi dan 2 kg ayam potong Rp94.000,00, berarti: x + 2y = 94.000.

Harga 3 kg ayam potong dan 2 kg daging sapi Rp167.000,00 berarti:

3y + 2x = 167.000

2x + 3y = 167.000

Jadi, sistem persamaannya x + 2y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000

 

Contoh 2

Jika x dan y adalah penyelesaian dari sistem persamaan 7x + 2y = 19 dan 4x – 3y = 15, nilai 3x – 2y adalah . . . .

A.     –9                                  C.     7

B.     –3                                  D.     11

Jawaban: D

Eliminasi y:

7x + 2y = 19    × 3       21x + 6y = 57

4x – 3y = 15    × 2       8x – 6y    = 30

                                –––––––––––– +

                                          29x = 87

                                             x = 3

Substitusi x = 3 ke persamaan 7x + 2y = 19:

    7(3) + 2y = 19

       21 + 2y = 19

             2y = –2

              y = –1

3x – 2y = 9 – (–2) = 9 + 2 = 11

Jadi, nilai 3x – 2y adalah 11.

Contoh 3

Harga 4 buah compact disk dan 5 buah kaset Rp200.000,00, sedangkan harga 2 buah compact disk dan 3 buah kaset yang sama Rp110.000,00. Harga 6 buah compact disk dan 5 buah kaset adalah . . . .

A.     Rp150.000,00             C.     Rp350.000,00

B.     Rp250.000,00             D.     Rp450.000,00

Jawaban: B

Misalkan   x = harga 1 buah compact disk

               y = harga 1 buah kaset

Harga 4 buah compact disk dan 5 buah kaset Rp200.000,00, diperoleh persamaan:

4x + 5y = 200.000

Harga 2 buah compact disk dan 3 buah kaset yang sama Rp110.000,00, diperoleh persamaan:

2x + 3y = 110.000

Diperoleh sistem persamaan:

  4x + 5y = 200.000    . . . (1)

  2x + 3y = 110.000    . . . (2)

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).

4x + 5y = 200.000        × 1       4x + 5y = 200.000

2x + 3y = 110.000        × 2       4x + 6y = 220.000

                                              ––––––––––––––– –

                                                     –y = –20.000

                                                       y = 20.000

Substitusikan y = 20.000 ke persamaan (2).

2x + 3y = 110.000

     2x + 3(20.000) = 110.000

          2x + 60.000 = 110.000

                          2x = 110.000 – 60.000

                          2x = 50.000

                            x =  25.000

Diperoleh x = 25.000 dan y = 20.000.

Harga 6 buah compact disk dan sebuah kaset

= 6x + 5y

= 6 × 25.000 + 5 × 20.000

= 150.000 + 100.000

= 250.000

Jadi, harga 6 buah compact disk dan 5 buah kaset Rp250.000,00.

Contoh 4

Rani membeli 2 kg jeruk dan 3 kg mangga seharga Rp44.000,00, sedangkan Rina membeli 5 kg jeruk dan 4 kg mangga seharga Rp82.000,00. Jika Rini membeli jeruk dan mangga masing-masing 1 kg dan 2 kg, harga yang dibayar Rini adalah . . . .

         A.  Rp18.000,00

         B.  Rp24.000,00

         C.  Rp26.000,00

         D.  Rp28.000,00

Jawaban : C

  Misalkan:   x = harga 1 kg jeruk

                 y = harga 1 kg mangga

 Bentuk sistem persamaannya :

2x + 3y = 44.000

5x + 4y = 82.000

Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2).

2x + 3y = 44.000     × 5      10x + 15y = 220.000

5x + 4y = 82.000     × 2       10x + 8y = 164.000

                                            ––––––––––––––– –

                                                  7y = 56.000

                                                    y = 8.000

Substitusikan y = 8.000 ke dalam  persamaan (1).

2x + 3y = 44.000

              2x + 3(8.000) = 44.000

                2x + 24.000 = 44.000

                              2x = 44.000 – 24.000

                              2x = 20.000

                               x = 10.000

Diperoleh x = 10.000 dan y = 8.000.

Harga 1 kilogram jeruk dan 2 kilogram mangga

= x + y

= 10.000 + 16.000

= 26.000

Jadi,  Rini membayar sebesar Rp26.000,00

Demikian contoh soal dan pembahasan mengenai langkah-langkah penyelesaian SPLDV dalam permasalahan sehari-hari.