26 March 2018

Penerapan Fungsi Turunan dalam Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum


Kali ini kita akan membahas tentang penerapan fungsi turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum. Misalnya permasalahan dalam menentukan volume maksimum, luas permukaan maksimum, ketinggian maksimum, biaya minimum dan laba maksimum.
Semua permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan penggunaan turunan fungsi.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

1.    Suatu perusahaan menghasilkan x barang dengan biaya total (100.000 + 2.000x + 5x2) rupiah. Jika 200 unit barang terjual dengan harga Rp8.000,00 per unit dan sisanya terjual dengan harga Rp6.000,00 per unit, laba maksimum yang diperoleh perusahaan adalah . . . .
A.    Rp1.050.000,00
B.    Rp1.100.000,00
C.   Rp1.200.000,00
D.   Rp1.300.000,00
E.    Rp1.500.000,00
Jawaban: B
Biaya total: B = 100.000 + 2.000x + 5x2
Hasil penjualan:
H  = 200 · 8.000 + (x – 200) 6.000
     = 1.600.000 – 1.200.000 + 6.000x
     = 400.000 + 6.000x
Laba:
L   = H – B
     = 400.000 + 6.000x – (100.000 + 2.000x + 5x2)
     = 300.000 + 4.000x – 5x2
Laba akan maksimum jika L’(x) = 0
   4.000 – 10x  = 0
                      x  = 400
Laba maksimum:
L(400) = 300.000 + 4.000 · 400 – 5 · 4002
            = 1.100.000
Jadi, laba maksimum yang diperoleh perusahaan Rp1.100.000,00.


2.    Sebuah kotak berbentuk prisma tanpa tutup mempunyai alas persegi. Jika volume kotak tersebut 13.500 cm³, luas permukaan minimum kotak yang dapat dibuat adalah . . ..
A.    2.100 cm²
B.    2.400 cm²
C.    2.700 cm²
D.    3.200 cm²
E.    3.600 cm²





3.    Reaksi terhadap sebuah obat insektisida setelah t jam disemprotkan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai bilangan tak negatif yang sama dengan R(t) = 12t2 t3. Reaksi maksimum dicapai pada saat t = . . . .
A.       2 jam
B.       4 jam
C.       6 jam
D.       8 jam
E.       12 jam
     Jawaban: D
R(t) = 12t2 – t3
Reaksi mencapai stasioner pada saat R¢(t) = 0
           R'(t)   = 0
    24t – 3t2   = 0
      3t(8 – t)   = 0
       t = 0 atau t = 8
Menguji t yang menyebabkan reaksi maksimum.
R''(t) = 246t
R''(0)     = 24    (minimum)
R''(8)     = -24   (maksimum)
Jadi, obat tersebut akan mencapai reaksi maksimum pada saat   t = 8 jam.




4.    Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 60 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton seperti gambar berikut.



Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah . . ..
A.    8.000 cm3
B.    6.000 cm3
C.    5.000 cm3
D.    4.000 cm3
E.    2.400 cm3
Jawaban: D
Dimisalkan:         x = tinggi kotak
Volume kotak yang akan terjadi adalah:
V(x) =(60 – 2x)(60 – 2x) x
= x(3600 – 240x +4x2)
= 3600x – 240x2 + 4x3
Volumeakan maksimum pada saat V'(x)= 0
V'(x)=0
3600 – 480x + 12x2 = 0
3600 – 480x + 12x2 = 0
3600 – 480x + 12x2 = 0
300 – 40x + x2 = 0
x2 – 40x + 300 = 0
(x – 10)(x – 30) = 0
x =10 atau x = 30
x =30 cm tidak mungkin, karena kertas akanterpotong habis.
Sehingga nilai x yang mungkin adalah x =10.

Volume kotak untuk x = 10
V(x)    =(60 – 2x)(60 – 2x) x
V(10) =(60 – 2(10)(60 – 2(20)) x
            = 40 x 40 x 10
            = 4.000
Jadi, volume maksimumnya adalah 4.000 cm3.







6.    Sebuah mobil melaju dengan kecepatan setiap waktu dirumuskan dengan v(t) = 5t – 0,05t2 (v dalam m/detik). Berapakah kecepatan maksimum yang dapat dilakukan oleh mobil tersebut?
A.    125 m/detik
B.    130 m/detik
C.    135 m/detik
D.    140 m/detik
E.    145 m/detik
Jawaban: A
Kecepatan dalam waktu tertentu dirumuskan dengan.
V(t)   = 5t – 0,05t2
V’(t)                       = 5 – 0,1t
Luas akan maksimum jika V'(t) = 0
V'(t) = 0
5 – 0,1t = 0
    0,1t = 5
        t = 50
Kecepatan pada saat t = 50.
V(t) = 5(50) – 0,05(50)2
= 250 – 0,05 × 2.500
= 250 – 125
= 125
Jadi, kecepatan maksimum mobil adalah 125 m/detik.


Demikian sekilas tentang penerapan turunan fungsi dalam menentukan nilai maksimum dan minimum.
Semoga bermanfaat.

Materi Terkait
Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun Menggunakan Turunan
Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum Relatif Pada Interval Tertutup menggunakan Turunan Fungsi
Menentukan Gradien dan Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan Fungsi