Tuesday, 25 July 2017

Hubungan Dua Garis Lurus pada Persamaan Garis Lurus

Dalam hubungannya dengan materi garis, terdapat hubungan antargaris. Hubungan antargaris antara lain meliputi garis-garis yang sejajar, garis-garis yang berpotongan, dan garis-garis yang bersilangan.
Dalam materi persamaan garis lurus ini akan dipelajari hubungan garis yang sejajar dan garis berpotongan tegak lurus.
Dua garis sejajar dan garis berpotongan tegak lurus dapat digambarkan seperti berikut.


 Ketika ingin mengetahui kedudukan garis, maka perhatikan pada gradien dari kedua garis tersebut.
Misalkan gradien garis a = m1 dan gradien garis b = m2 maka berlaku:
1. Kedua garis sejajar jika dan hanya jika m1 = m2
2. Kedua garis berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika m1 x m2 = -1  atau m1 = -(1/m2)
Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Tentukan gradien garis yang memiliki kedudukan sebagai berikut.
1. Sejajar dengan garis y = 3x + 5
2. Sejajar dengan garis 2x + 5y = 10
3. Sejajar dengan garis 4x - 9y = 45
4. Sejajar dengan garis 6x + 3y - 15 = 0
5. Sejajar dengan garis yang melalui titik (2,1) dan (4, 9)
6. Tegak lurus dengan garis y = 5x - 12
7. Tegak lurus dengan garis 4x - 2y = 17
8. Tegak lurus dengan garis 3x + 5y = 18
9. Tegak lurus dengan garis yang melalui  titik (0,3) dan (3, 10)
10. Tegak lurus dengan garis yang melalui titik (-4,2) dan (-1, -7).

 Jawaban:
Untuk nomor 1 sampai dengan 5 kedudukan garisnya sejajar. Berarti kita mencari gradien yang sama dengan gradien garis-garis tersebut.
1. Garis y = 3x memiliki gradien 3. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah 3.
2. Garis 2x + 5y = 10 memiliki gradien -2/5. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah -2/5.
3.  Garis 4x - 9y = 45 memiliki gradien 4/9. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah 4/9.
4.  Garis 6x + 3y - 15 = 0 memiliki gradien -2. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah -2.
5.  Garis yang melaui titik (2,1) dan (4, 9) memiliki gradien 4. Jadi, gradien garis yang sejajar garis tersebut adalah 4.

 Untuk nomor 6 sampai dengan 10 kedudukan garisnya saling tegak lurus. Berarti kita mencari gradien apabila dikalikan hasilnya -1. Atau gradien baru yang sama dengan gradien garis-garis tersebut.
6. Garis y = 5x - 12 memiliki gradien 5. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah -1/5.
7. Garis 4x - 2y = 17 memiliki gradien 2. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah -1/2.
8. Garis 3x + 5y = 18 memiliki gradien -3/5. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah 5/3.
9. Garis yang melalui  titik (0,3) dan (3, 10) memiliki gradien 7/3. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah -3/7.
10. Garis yang melalui  titik (-4,2) dan (-1, -7) memiliki gradien -3. Jadi, gradien garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut adalah 1/3.

Setelah tahu dan paham tentang cara menentukan gradien pada hubungan garis yang sejajar dan tegak lurus, mari melanjutkan tentang cara menentukan persamaan garis lurus.

Perlu diingat bahwa ketika akan menentukan persamaan garis lurus, tentukan dahulu gradien garis dan koordinat titik yang akan dilalui. Dalam menentukan persamaan garis lurus, kita akan banyak menggunakan rumus dasar y - y1 = m(x - x1).


Marilah membahas beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.
1. Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y = 3x + 5 dan melalui titik (2, -1).
Jawaban:
Gradien garis y = 3x + 5 mempunyai gradien 3. Sehingga kita mencari persamaan garis yang bergradien 3 dan melalui titik (2, -1).
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = 3(x - 2)
y + 1 = 3x - 6
y = 3x - 6 - 1
y = 3x - 7
Jadi,persamaan  garis yang sejajar garis y = 3x + 5 dan melalui titik (2, -1) adalah y = 3x - 7.

2. Tentukan persamaan garis yang melaui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 4y - 9 = 0.
Jawaban:
Gradien garis 2x + 4y - 9 = 0 adalah -(1/2). Sehingga kita akan mencari persamaan garis lurus yang bergradien -(1/2) dan melalui titik (-3, 2)
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = -(1/2)(x - (-3))
2y - 4 = -(x + 3)
2y - 4 = -x - 3
2y + x - 4 +3 = 0
2y + x - 1 = 0 
Jadi, persamaan garis yang melaui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 4y - 9 = 0 adalah 2y + x - 1 = 0. 

3. Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y = -3x + 4 dan melalui titik (1, 5).
Jawaban:
Gradien garis y = -3x + 4 adalah -3. Gradien garis yang tegak lurus garis tersebut adalah 1/3.
Oleh karena itu, kita akan mencari persamaan garis yang bergradien 1/3 dan melalui titik (1, 5)
y - y1 = m(x - x1)
y - 5 = (1/3)(x - 1)
3y - 15 = x - 1
3y - 15 - x + 1 = 0
3y - x - 14 = 0
Jadi,  persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis y = -3x + 4 dan melalui titik (1, 5) adalah 3y - x - 14 = 0.

4. Perhatikan gambar berikut.

Tentukan persamaan garis k.
Jawaban:
Garis yang melaui titik (0,2) dan (10, 7) memiliki gradien 1/2. Garis k tegak lurus dengan garis tersebut. Sehingga gradien garis k adalah -2.
Sehingga persamaan garis k adalah garis yang melalui titik (6, 0) dan bergradiem -2.
y - y1 = m(x - x1)
y - 0 = (-2)(x - 6)
y = -2x + 6
Jadi, persamaan garis k adalah y = -2x+ 6.

5. Perhatikan gambar berikut.

 Tentukan persamaan garis h.
Jawaban :
Garis yang melaui titik (0,4) dan (6, 0) memiliki gradien -2/3. Garis h sejajar dengan garis tersebut. Sehingga gradien garis h adalah -2/3.
Sehingga persamaan garis h adalah garis yang melalui titik (4, 6) dan bergradiem -2/3.
y - y1 = m(x - x1)
y - 6 = (-2/3)(x - 4)
3(y - 6) = (-2)(x - 4)
3y - 18 = -2x + 8
3y + 2x - 18 - 8 = 0
3y + 2x - 26 = 0
Jadi, persamaan garis h adalah 3y + 2x - 26 = 0.

Demikianlah sekilas tentang cara menentukan persamaan garis lurus berkaitan dengan kedudukan dua garis.
Semoga bermanfaat.
 
 



Monday, 24 July 2017

Menentukan Persamaan Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus merupakan materi pelajaran Matemetika yang dipelajari di SMP kelas 8. Dalam hal ini akan dipelajari garis lurus dalam bidang kartesius. Perlu diketahui bahwa garis lurus mempunyai persamaan, yang disebut persamaan garis lurus.
Secara umum persamaan garis lurus ditulis seperti berikut.
1. ax + bx = c
2. ax + bx + c = 0
3. y = mx + c
Contoh bentuk persamaan garis lurus antara lain:
3x + 2y = 6; x + 5y + 10 = 0; 2x - 5y + 20 = 0; y = 6x + 15; dan y = 2x - 5.
Bentuk garis lurus pada bidang koordinat digambarkan seperti berikut.

Secara umum persamaan garis di atas mempunyai persaman y = mx + c.
Perlu diketahui bahwa suatu garis mempunyai Gradien (kemiringan garis). Nah, untuk itu mari membahas gradien garis terlebih dahulu.

A. Gradien Garis Lurus
Beberapa rumus gradien garis lurus.
1. Gradien garis y = mx + c adalah m.
2. Gradien garis ax + by + c = 0 atau ax + by = c adalah m= -a/b.
3. Gradian garis yang melalui titik (0, 0) dan (a, b) adalah m = b/a.
4.Gradien  garis yang melalui titik (a,0) dan (0,b) adalah m = -b/a.
5. Gradien garis yang melalui titik (a, b) dan (p, q) adalah m = (q-b)/(p-a).
Lebih jelasnya perhatikan contoh dan pembahasannya berikut ini.
Contoh:
1. Gradien garis y = 3x- 4 adalah 3.
2. Gradien garis y = 8x + 2 adalah 8.
3. Gradien garis y = 6 - 4x adalah -4.
4. Gradien garis y = 13 - 2x adalah -2.
5. Gradien garis 2x + 3y + 6 = 0 adalah m = -2/3.
6. Gradien garis 5x - 8y = 12 adalah m = 5/8.
7. Gradien garis 6x - 9y - 10 = 0 adalah m = 6/9 = 2/3.
8. Gradien garis yang melalui titik (0,0) dan (5,4) adalah m = 4/5.
9. Gradien garis yang melalui titik (0,0) dan (-3, 6) adalah m = 6/(-3) = -2.
10. Gradien garis yang melaui titik (4,0) dan (0,7) adalah m = -7/4.
11. Gradien garis yang melaui titik (8,0) dan (0, -10) adalah = - (-10)/8 = 5/4.
12. Gradien garis yang melalui titik (-6,0) dan (0,8) adalah m = -8/(-6) = 4/3.
Sekarang menentukan Gradien garis yang melalui dua titik selain (0,0).
13. Tentukan Gradien garis yang melaui dua titik berikut.
      a. (2, 6) dan (4, 10)
      b. (-3, -2) dan (5, 4)
      c. (1, 7) dan (-3, 13)
Jawaban:



14. Tentukan gradien dari garis lurus berikut.


 Jawaban:
(a) garis melalui (12, 0) dan (0, 8), gradiennya adalah m = -8/12 = -2/3.
(b) Garis melaui (15, 0) dan (0, -18), gradiennya adalah m = - (-18)/15 = 6/5.
(c) Garis melalui (0, 3) dan (12, 6), gradiennya adalah m = 1/4 (Coba sendiri hitungannya ya...).
Setelah menguasai materi gradien garis lurus, mari melanjutkan materi tentang persamaan garis lurus.


B. Persamaan Garis Lurus
Mari mempelajari tentang cara menentukan persamaan garis lurus. Secara ringkas, menentukan persamaan garis lurus dipandang berbagai kondisi sebagai berikut.
 
 Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh berikut.
Tentukan persamaan garis berikut.
1. Persamaan garis lurus yang melalui titik (0,0) dan (3, 6).
2. Persamaan garis lurus yang melalui titik (0,0) dan (-4, 10).
3. Persamaan garis lurus yang melalui (8, 0) dan (0, 12).
4. Persamaan garis lurus yang melalui (-9, 0) dan (0, 15).
5. Persamaan garis lurus yang melalui (-2, 0) dan (0, -8).
Jawaban:
 

 Mari melanjutkan persamaan garis yang tipe 3 dan 4.
6. Persamaan garis lurus yang melalui (2, 4) dan (10,8).
7. Persamaan garis lurus yang melalui (-1, 2) dan (-5,-6).
8. Persamaan garis lurus yang melalui (2, 3) dan bergradien 2.
9. Persamaan garis lurus yang melaui (-3, 5) dan bergradien -4.
Jawaban:




Demikian sekilas tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus.
Semoga bermanfaat.

Materi Terkait:
Kedudukan Dua Garis dalam Persamaan Garis Lurus